حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\cos (x)}$ ; $x = 1$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $1$ عن $x$ .

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 1^{\cos (1)}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

خطوة 1.2.3

بسّط ${(1)}^{\cos (1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

احسِب قيمة $\cos (1)$ .

$y = 1^{0.99984769}$

خطوة 1.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $x^{\cos (x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

خطوة 2.1.2

وسّع $\ln (x^{\cos (x)})$ بنقل $\cos (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.5

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.6

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

خطوة 2.7.2

اجمع $e^{\cos (x) \ln (x)}$ و $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

خطوة 2.7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

خطوة 2.8

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$- e^{\cos (1) \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1.1

احسِب قيمة $\cos (1)$ .

$- e^{0.99984769 \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.2

بسّط $0.99984769 \ln (1)$ بنقل $0.99984769$ داخل اللوغاريتم.

$- e^{\ln (1^{0.99984769})} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$- 1^{0.99984769} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 1 \cdot 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.6

احسِب قيمة $\sin (1)$ .

$- 1 \cdot 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.7

اضرب $- 1$ في $0.0174524$ .

$- 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.8

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 0.0174524 \cdot 0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.9

اضرب $- 0.0174524$ في $0$ .

$0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

خطوة 2.9.1.10

اقسِم $e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$ على $1$ .

$0 + e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$

خطوة 2.9.1.11

احسِب قيمة $\cos (1)$ .

$0 + e^{0.99984769 \ln (1)} \cos (1)$

خطوة 2.9.1.12

بسّط $0.99984769 \ln (1)$ بنقل $0.99984769$ داخل اللوغاريتم.

$0 + e^{\ln (1^{0.99984769})} \cos (1)$

خطوة 2.9.1.13

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$0 + 1^{0.99984769} \cos (1)$

خطوة 2.9.1.14

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$0 + 1 \cos (1)$

خطوة 2.9.1.15

اضرب $\cos (1)$ في $1$ .

$0 + \cos (1)$

خطوة 2.9.1.16

احسِب قيمة $\cos (1)$ .

$0 + 0.99984769$

خطوة 2.9.2

أضف $0$ و $0.99984769$ .

$0.99984769$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $0.99984769$ ونقطة مُعطاة $(1, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0.99984769 \cdot (x - (1))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $0.99984769 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.99984769 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = 0.99984769 x + 0.99984769 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $0.99984769$ في $- 1$ .

$y - 1 = 0.99984769 x - 0.99984769$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 0.99984769 x - 0.99984769 + 1$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 0.99984769$ و $1$ .

$y = 0.99984769 x + 0.0001523$

خطوة 4