حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 9$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 y^{3} y'$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x = 4 y^{3} y'$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$4 y^{3} y' = 2 x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $4 y^{3} y' = 2 x$ على $4 y^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $4 y^{3} y' = 2 x$ على $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 9$ و $y = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $3$ في العبارة.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

خطوة 1.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{9}{54}$

خطوة 1.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $54$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\frac{9 (1)}{54}$

خطوة 1.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

أخرِج العامل $9$ من $54$ .

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

خطوة 1.7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

خطوة 1.7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{6}$ ونقطة مُعطاة $(9, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 3$ و $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

خطوة 3