حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = \frac{5}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3.2

اضرب الأُسس في ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.6.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.6.1.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

خطوة 1.6.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

خطوة 1.6.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 1.6.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

خطوة 1.6.2

لكتابة $\frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.6.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

خطوة 1.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

خطوة 1.6.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{1}{8}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{8}$ ونقطة مُعطاة $(4, \frac{5}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{8}$ و $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{5}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

خطوة 2.3.2.3

أضف $- 1$ و $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اقسِم $4$ على $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

خطوة 3