حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{x^{3} + 1}$ at $(2, 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{3} + 1}$ في صورة ${(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{3} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 0)$

خطوة 1.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

خطوة 1.11.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

خطوة 1.11.3

اجمع $\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$\frac{3 {(2)}^{2}}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

أخرِج العامل $2$ من $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 ({({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot 2}{{({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{{(2^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{6}{{(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.4.2

أضف $8$ و $1$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.4.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.4.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.4.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{3^{1}}$

خطوة 1.13.4.6

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{6}{3}$

خطوة 1.13.5

اقسِم $6$ على $3$ .

$2$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $2$ ونقطة مُعطاة $(2, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $2 \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y - 3 = 2 x - 4$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2 x - 4 + 3$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 4$ و $3$ .

$y = 2 x - 1$

خطوة 3