حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{8}$ at the point $(- 2, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 2$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = x^{3} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 4 x$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4)$

خطوة 1.3

احسِب قيمة المشتق في $x = - 2$ .

$8 {({(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2)}^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$8 {(- 8 - 4 \cdot - 2)}^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

خطوة 1.4.1.2

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$8 {(- 8 + 8)}^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

خطوة 1.4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أضف $- 8$ و $8$ .

$8 \cdot 0^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

خطوة 1.4.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$8 \cdot 0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

خطوة 1.4.2.3

اضرب $8$ في $0$ .

$0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

خطوة 1.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

خطوة 1.4.3.2

اضرب $3$ في $4$ .

$0 (12 - 4)$

خطوة 1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اطرح $4$ من $12$ .

$0 \cdot 8$

خطوة 1.4.4.2

اضرب $0$ في $8$ .

$0$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $0$ ونقطة مُعطاة $(- 2, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (- 2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 0 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 0 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3.2

اضرب $0$ في $x + 2$ .

$y = 0$

خطوة 3