حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(18, 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 18$ و $y = 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x}$ في صورة ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $2^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10

اجمع $2^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

انقُل $2^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

احسِب قيمة المشتق في $x = 18$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(18)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ ونقطة مُعطاة $(18, 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (18))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

خطوة 2.3.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ و $- 18$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3.2

انقُل $18^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18 \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3.3

اضرب $18$ في $18^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.3.1

اضرب $18$ في $18^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.3.1.1

ارفع $18$ إلى القوة $1$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1} \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.3.1.3.4

استخدِم قوة قاعدة القسمة $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(\frac{18}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.3.1.3.5

اقسِم $18$ على $2$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 9^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.3.1.3.6

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.3.1.3.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.3.1.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.3.1.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{1}$

خطوة 2.3.1.3.9

احسِب قيمة الأُس.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3$

خطوة 2.3.1.3.10

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3 + 6$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 3$ و $6$ .

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + 3$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + 3$

خطوة 3