حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{4}$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب عوامل $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{4})$ هي $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.2

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.4.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.5

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.6

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.7

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 1.5.8

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $4$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{4}, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

خطوة 2.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{4}$ إلى بسط الكسر.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

خطوة 2.3.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

خطوة 2.3.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - 1 = 4 x - π$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 4 x - π + 1$

خطوة 3