حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.6

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.6.2.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.10.2

اطرح $3$ من $2$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.12

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.13

اجمع $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ و $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.14

اضرب $x^{- \frac{1}{3}}$ في $x^{- \frac{4}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.14.1

انقُل $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.14.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.14.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.14.4

اطرح $1$ من $- 4$ .

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.14.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.15

انقُل $x^{- \frac{5}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.16

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.17

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.18

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 1.6.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

خطوة 1.6.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

خطوة 1.6.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

خطوة 1.6.1.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

خطوة 1.6.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

خطوة 1.6.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

خطوة 1.6.1.4

اضرب $- - \frac{10}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

خطوة 1.6.1.4.2

اضرب $\frac{10}{3}$ في $1$ .

$- 1 + \frac{10}{3}$

خطوة 1.6.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

خطوة 1.6.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

خطوة 1.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

خطوة 1.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 3 + 10}{3}$

خطوة 1.6.5.2

أضف $- 3$ و $10$ .

$\frac{7}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{7}{3}$ ونقطة مُعطاة $(- 1, 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{7}{3}$ و $x$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{7}{3}$ في $1$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $6$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $6$ في $3$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $7$ و $18$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

خطوة 3