حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = \frac{1}{3}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.4.2

اطرح $e^{x}$ من $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.4.4

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

خطوة 1.6.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

خطوة 1.6.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

خطوة 1.6.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2}{9}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{2}{9}$ ونقطة مُعطاة $(0, \frac{1}{3})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اجمع $\frac{2}{9}$ و $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{1}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

خطوة 3