حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(- 1, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{x^{2} + 1}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$- 4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.7

أضف $1$ و $1$ .

$- 4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$- 4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.9

اجمع $- 4$ و $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.11.2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$- \frac{- 4 {(- 1)}^{2} + 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 4 \cdot 1 + 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.13.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- \frac{- 4 + 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.13.1.3

أضف $- 4$ و $4$ .

$- \frac{0}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.13.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

خطوة 1.13.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{0}{2^{2}}$

خطوة 1.13.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{0}{4}$

خطوة 1.13.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$- 0$

خطوة 1.13.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $0$ ونقطة مُعطاة $(- 1, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 0 \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = 0 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $0$ في $x + 1$ .

$y - 2 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2$

خطوة 3