حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y^{3} = y^{2} - 2$ ;, $(1, - 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = - 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} - 2)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

خطوة 1.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 y y' + 0$

خطوة 1.3.3.2

أضف $2 y y'$ و $0$ .

$2 y y'$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 y y'$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 y y' = 0$

خطوة 1.5.2

اطرح $2 y^{3} x$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y y'$ من $3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y y'$ من $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y y'$ من $- 2 y y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2 = - 2 y^{3} x$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y y'$ من $y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ على $y (3 x^{2} y - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ على $y (3 x^{2} y - 2)$ .

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

خطوة 1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x^{2} y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

خطوة 1.5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{3}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

خطوة 1.5.4.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

خطوة 1.5.4.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

خطوة 1.5.4.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{2 y^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} y - 2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $- 1$ في العبارة.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} (- 1) - 2}$

خطوة 1.7.3

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1^{2} \cdot - 1 - 2}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1 \cdot - 1 - 2}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $3 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot - 1 - 2}$

خطوة 1.7.4.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 3 - 2}$

خطوة 1.7.4.3

اطرح $2$ من $- 3$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 5}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 5}$

خطوة 1.7.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{2}{- 5}$

خطوة 1.7.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{2}{5}$

خطوة 1.7.6

اضرب $- - \frac{2}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{2}{5})$

خطوة 1.7.6.2

اضرب $\frac{2}{5}$ في $1$ .

$\frac{2}{5}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{2}{5}$ ونقطة مُعطاة $(1, - 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{5} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{2}{5} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 1 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{5}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2}{5}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + 1 = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 1 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 5}{5}$

خطوة 2.3.2.5.2

اطرح $5$ من $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 7}{5}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{7}{5}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$

خطوة 3