حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ at $(- 3, - 9)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 3$ و $y = - 9$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6 x}{x + 5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 5$ .

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $x + 5$ في $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.4

أضف $0$ و $5$ .

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.5

اجمع $6$ و $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.6

اضرب $6$ في $5$ .

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = - 3$ .

$\frac{30}{{((- 3) + 5)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أضف $- 3$ و $5$ .

$\frac{30}{2^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{30}{4}$

خطوة 1.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$\frac{2 (15)}{4}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{15}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{15}{2}$ ونقطة مُعطاة $(- 3, - 9)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 9) = \frac{15}{2} \cdot (x - (- 3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{15}{2} \cdot (x + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 9 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 9 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot 3$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{15}{2}$ و $x$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot 3$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{15}{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{15}{2}$ و $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $15$ في $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $- 9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $- 9$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 9 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $- 9$ في $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 18}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

اطرح $18$ من $45$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{27}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$

خطوة 3