حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ at $(4, 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x}{x - 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 2$ .

$3 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $x - 2$ في $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$3 \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.4.1

اطرح $2$ من $0$ .

$3 \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (- \frac{2}{{(x - 2)}^{2}})$

خطوة 1.3.6.4.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.5

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.6.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{- 6}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$- \frac{6}{{((4) - 2)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2$ من $4$ .

$- \frac{6}{2^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{6}{4}$

خطوة 1.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{3}{2}$ ونقطة مُعطاة $(4, 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 6 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 6 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{3}{2}$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

خطوة 2.3.1.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.4

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y - 6 = - \frac{3 x}{2} + 6$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 6$

خطوة 2.3.2.2

أضف $6$ و $6$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 12$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 12$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3}{2} x + 12$

خطوة 3