حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{4} + x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

خطوة 1.2.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

خطوة 1.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

خطوة 1.3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $12$ في $1$ .

$2 y y' + 12$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

خطوة 1.5.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $2 y y'$ من $4 y^{3} y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $2 y y'$ من $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $2 y y'$ من $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $2 y y'$ من $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ على $2 y (2 y^{2} - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ على $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $2 \cdot 1^{2} - 1$ في $1$ .

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.2.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.3

اقسِم $6$ على $1$ .

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.6

اضرب $3$ في $0$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

خطوة 1.7.3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.7.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

خطوة 1.7.3.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

خطوة 1.7.3.7.3

اطرح $1$ من $2$ .

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.8

اضرب $2$ في $1$ .

$6 - \frac{0}{2}$

خطوة 1.7.3.9

اقسِم $0$ على $2$ .

$6 - 0$

خطوة 1.7.3.10

اضرب $- 1$ في $0$ .

$6 + 0$

خطوة 1.7.4

أضف $6$ و $0$ .

$6$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $6$ ونقطة مُعطاة $(0, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - 1 = 6 x$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 6 x + 1$

خطوة 3