حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = x^{3} - 4 x + 1$ at $(- 2, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 2$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 1)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 4 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.2.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} - 4 + 0$

خطوة 1.3.3.2

أضف $3 x^{2} - 4$ و $0$ .

$3 x^{2} - 4$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد في $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

خطوة 1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

خطوة 1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

خطوة 1.5.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = - 2$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 2)}^{2}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (2)$ .

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.1.4

اضرب $2^{2}$ في $1$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.1.6.3

اقسِم $3 \cdot 2$ على $1$ .

$3 \cdot 2 - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$6 - \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.3.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$6 - 1 \cdot 2$

خطوة 1.7.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 - 2$

خطوة 1.7.4

اطرح $2$ من $6$ .

$4$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $4$ ونقطة مُعطاة $(- 2, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (- 2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $4 \cdot (x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = 4 x + 4 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$y - 1 = 4 x + 8$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 4 x + 8 + 1$

خطوة 2.3.2.2

أضف $8$ و $1$ .

$y = 4 x + 9$

خطوة 3