حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2}}{8 + x}$ , $(1, \frac{1}{9})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = \frac{1}{9}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 8 + x$ .

$\frac{(8 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(8 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $8 + x$ .

$\frac{2 \cdot (8 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x])}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 x) x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{16 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{16 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{16 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{16 x + x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} + 16 x}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 16 x}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2

أخرِج العامل $x$ من $16 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 16}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 16$ .

$\frac{x (x + 16)}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 16)}{{((1) + 8)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $1 + 16$ في $1$ .

$\frac{1 + 16}{{(1 + 8)}^{2}}$

خطوة 1.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أضف $1$ و $8$ .

$\frac{1 + 16}{9^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 + 16}{81}$

خطوة 1.5.3

أضف $1$ و $16$ .

$\frac{17}{81}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{17}{81}$ ونقطة مُعطاة $(1, \frac{1}{9})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{17}{81} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{17}{81} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{1}{9} = 0 + 0 + \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} x + \frac{17}{81} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{17}{81}$ و $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{17}{81} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{17}{81} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{17}{81}$ و $- 1$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{17 \cdot - 1}{81}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $17$ في $- 1$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{- 17}{81}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{1}{9}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{1}{9}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $\frac{1}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 2.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $81$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{9}{9 \cdot 9}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $9$ في $9$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{9}{81}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{17 x}{81} + \frac{- 17 + 9}{81}$

خطوة 2.3.2.5

أضف $- 17$ و $9$ .

$y = \frac{17 x}{81} + \frac{- 8}{81}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{8}{81}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{17}{81} x - \frac{8}{81}$

خطوة 3