حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{4}$ و $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 \sin (3 x)$

خطوة 1.3

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $3$ و $\frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 1.4.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.4

اجمع $- 3$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

خطوة 2.3.1.5.3

اضرب $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{π}{4}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.3.1.5.4

اضرب $2$ في $4$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

خطوة 2.3.2

اطرح $\frac{\sqrt{2}}{2}$ من كلا المتعادلين.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لكتابة $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.3.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

خطوة 2.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

خطوة 2.3.3.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 2.3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 2.3.3.6

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3