حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $7 x$ .

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.2.4

اضرب $7$ في $1$ .

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.2.5

انقُل $7$ إلى يسار $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (7 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\sin (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\cos (u_{3})$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

خطوة 1.3.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $7$ في $1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

خطوة 1.3.6

انقُل $7$ إلى يسار $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

خطوة 1.3.7

اضرب $7$ في $2$ .

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

اضرب $7$ في $0$ .

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

خطوة 1.6.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

خطوة 1.6.1.3

اضرب $14$ في $1$ .

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

خطوة 1.6.1.4

اضرب $7$ في $0$ .

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

خطوة 1.6.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

خطوة 1.6.1.6

اضرب $14$ في $0$ .

$0 + 7 \cos (7 (0))$

خطوة 1.6.1.7

اضرب $7$ في $0$ .

$0 + 7 \cos (0)$

خطوة 1.6.1.8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

خطوة 1.6.1.9

اضرب $7$ في $1$ .

$0 + 7$

خطوة 1.6.2

أضف $0$ و $7$ .

$7$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $7$ ونقطة مُعطاة $(0, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 7 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$y = 7 x$

خطوة 3