حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} - x^{2} y - 6 x = 0$ , $(2, 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2} y - 6 x) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - x^{2} y - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 6$

خطوة 1.2.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 6$

خطوة 1.2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6$

خطوة 1.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6 = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أضف $2 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' - x^{2} y' - 6 = 2 x y$

خطوة 1.5.1.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 6$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y' - x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 6$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 6$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ على $2 y - x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ على $2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x y + 6}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.5.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x y + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 6}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.5.3.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 2 \cdot 3}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.5.3.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x y) + 2 \cdot 3$ .

$y' = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{2 ((2) \cdot y + 3)}{2 y - {(2)}^{2}}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $6$ في العبارة.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (6) - {(2)}^{2}}$

خطوة 1.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $2 (6) - {(2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{- {(2)}^{2} + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.7.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.7.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)}$

خطوة 1.7.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

خطوة 1.7.3.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

خطوة 1.7.3.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(2) \cdot (6) + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

خطوة 1.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{12 + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

خطوة 1.7.4.2

أضف $12$ و $3$ .

$\frac{15}{- 1 \cdot 2 + 6}$

خطوة 1.7.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{15}{- 2 + 6}$

خطوة 1.7.5.2

أضف $- 2$ و $6$ .

$\frac{15}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{15}{4}$ ونقطة مُعطاة $(2, 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{15}{4} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{15}{4} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{15}{4}$ و $x$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{4} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 (2)} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{15}{2}$ و $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15 \cdot - 1}{2}$

خطوة 2.3.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.7.1

اضرب $15$ في $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15}{2}$

خطوة 2.3.1.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $6$ في $2$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 15$ و $12$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{15}{4} x - \frac{3}{2}$

خطوة 3