حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{5 x + 11}$ , $(5, 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 5$ و $y = 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5 x + 11}$ في صورة ${(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 5 x + 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x + 11$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(5 x + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(5 x + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(5 x + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(5 x + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [11])$

خطوة 1.9

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11])$

خطوة 1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11])$

خطوة 1.11

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [11])$

خطوة 1.12

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

خطوة 1.13

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

أضف $5$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

خطوة 1.13.2

اجمع $\frac{1}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ و $5$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14

احسِب قيمة المشتق في $x = 5$ .

$\frac{5}{2 {(5 (5) + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1.1

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{5}{2 {(25 + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.15.1.2

أضف $25$ و $11$ .

$\frac{5}{2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.15.1.3

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{5}{2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.15.1.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.15.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5}{2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.15.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{2 \cdot 6^{1}}$

خطوة 1.15.1.6

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

خطوة 1.15.2

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{5}{12}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{5}{12}$ ونقطة مُعطاة $(5, 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{5}{12} \cdot (x - (5))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 6 = \frac{5}{12} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{5}{12} \cdot (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{5}{12} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 6 = \frac{5}{12} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{5}{12}$ و $x$ .

$y - 6 = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{5}{12} \cdot - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{5}{12}$ و $- 5$ .

$y - 6 = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 5}{12}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $5$ في $- 5$ .

$y - 6 = \frac{5 x}{12} + \frac{- 25}{12}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 6 = \frac{5 x}{12} - \frac{25}{12}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{25}{12} + 6$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{25}{12} + 6 \cdot \frac{12}{12}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $6$ و $\frac{12}{12}$ .

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{25}{12} + \frac{6 \cdot 12}{12}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 25 + 6 \cdot 12}{12}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $6$ في $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 25 + 72}{12}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 25$ و $72$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{47}{12}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{47}{12}$

خطوة 3