حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{2 x}$ at $x = \frac{1}{2} \ln (5)$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $\frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ عن $x$ .

$y = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$

خطوة 1.2

بسّط $e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط $\frac{1}{2} \ln (5)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$y = e^{2 \ln (5^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.2

بسّط $2 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y = e^{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 1.2.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 1.2.4

اضرب الأُسس في ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 1.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 5^{1}$

خطوة 1.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = 5$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{1}{2} \ln (5)$ و $y = 5$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ .

$2 e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط $\frac{1}{2} \ln (5)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$2 e^{2 \ln (5^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 2.4.2

بسّط $2 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$2 e^{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 2.4.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.4.4

اضرب الأُسس في ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 5^{1}$

خطوة 2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 \cdot 5$

خطوة 2.4.6

اضرب $2$ في $5$ .

$10$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $10$ ونقطة مُعطاة $(\frac{1}{2} \cdot \ln (5), 5)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 10 \cdot (x - (\frac{1}{2} \cdot \ln (5)))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 5 = 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 5 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 5 = 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = 10 x + 10 (- \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $10 (- \ln (5^{\frac{1}{2}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$y - 5 = 10 x - 10 \ln (5^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3.3.1.4.2

بسّط $- 10 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ بنقل $10$ داخل اللوغاريتم.

$y - 5 = 10 x - \ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{10})$

خطوة 3.3.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اضرب الأُسس في ${(5^{\frac{1}{2}})}^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 10})$

خطوة 3.3.1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot (2 (5))})$

خطوة 3.3.1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 5)})$

خطوة 3.3.1.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{5})$

خطوة 3.3.1.5.2

ارفع $5$ إلى القوة $5$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (3125)$

خطوة 3.3.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 10 x - \ln (3125) + 5$

خطوة 4