حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \sqrt{x}$ at $(4, 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10

اجمع $3$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{3}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.2

اضرب الأُسس في ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{1}}$

خطوة 1.13.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3}{2^{1 + 1}}$

خطوة 1.13.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3}{2^{2}}$

خطوة 1.13.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{3}{4}$ ونقطة مُعطاة $(4, 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

خطوة 2.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} - 3$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 6$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 3$ و $6$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 3$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{3}{4} x + 3$

خطوة 3