حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{2 + x^{3}}$ , $(- 1, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 + x^{3}}$ في صورة ${(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

خطوة 1.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

خطوة 1.12.2

اجمع $\frac{3}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2}}{2 {(2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.14.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{3}{2}$ ونقطة مُعطاة $(- 1, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{3}{2} \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 + 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $3$ و $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}$

خطوة 3