حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln^{5} (x)$ at $x = 11$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $11$ عن $x$ .

$y = \ln ({(11)}^{5})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \ln (11^{5})$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = \ln ({(11)}^{5})$

خطوة 1.2.3

ارفع $11$ إلى القوة $5$ .

$y = \ln (161051)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 11$ و $y = \ln (161051)$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(x)}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح ${(x)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ ${(x)}^{5}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

خطوة 2.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

خطوة 2.2.2.2

اجمع $\frac{5}{x^{5}}$ و $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

خطوة 2.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

خطوة 2.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

خطوة 2.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

خطوة 2.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{x}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة المشتق في $x = 11$ .

$\frac{5}{11}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{5}{11}$ ونقطة مُعطاة $(11, \ln (161051))$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (161051)) = \frac{5}{11} \cdot (x - (11))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \ln (161051) = \frac{5}{11} \cdot (x - 11)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{5}{11} \cdot (x - 11)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \ln (161051) = 0 + 0 + \frac{5}{11} \cdot (x - 11)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \ln (161051) = \frac{5}{11} \cdot (x - 11)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \ln (161051) = \frac{5}{11} x + \frac{5}{11} \cdot - 11$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{5}{11}$ و $x$ .

$y - \ln (161051) = \frac{5 x}{11} + \frac{5}{11} \cdot - 11$

خطوة 3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

أخرِج العامل $11$ من $- 11$ .

$y - \ln (161051) = \frac{5 x}{11} + \frac{5}{11} \cdot (11 (- 1))$

خطوة 3.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - \ln (161051) = \frac{5 x}{11} + \frac{5}{11} \cdot (11 \cdot - 1)$

خطوة 3.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - \ln (161051) = \frac{5 x}{11} + 5 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$y - \ln (161051) = \frac{5 x}{11} - 5$

خطوة 3.3.2

أضف $\ln (161051)$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{5 x}{11} - 5 + \ln (161051)$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{5}{11} x - 5 + \ln (161051)$

خطوة 4