حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x + 4}$ at $x = 5$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $5$ عن $x$ .

$y = \sqrt{(5) + 4}$

خطوة 1.2

بسّط $\sqrt{(5) + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $5$ و $4$ .

$y = \sqrt{9}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

خطوة 1.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 3$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 5$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 4}$ في صورة ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.7.3

انقُل ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 2.11.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.12

احسِب قيمة المشتق في $x = 5$ .

$\frac{1}{2 {((5) + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1.1

أضف $5$ و $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.13.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.13.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

خطوة 2.13.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.13.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{6}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{1}{6}$ ونقطة مُعطاة $(5, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (5))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 5)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{1}{6} \cdot (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 5)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 5)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 5$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 5$

خطوة 3.3.1.5

اجمع $\frac{1}{6}$ و $- 5$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 5}{6}$

خطوة 3.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{6} + 3$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{6} + 3 \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 5 + 3 \cdot 6}{6}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $3$ في $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 5 + 18}{6}$

خطوة 3.3.2.5.2

أضف $- 5$ و $18$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{13}{6}$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{13}{6}$

خطوة 4