حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 4 π)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{2}$ و $y = 4 π$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

خطوة 1.4.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x))$

خطوة 1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$8 x \cos (x) + 8 \sin (x)$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 (4) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.7.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.7.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 π \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$4 π \cdot 0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.7.1.3

اضرب $4 π \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.1

اضرب $0$ في $4$ .

$0 π + 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.7.1.3.2

اضرب $0$ في $π$ .

$0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.7.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

خطوة 1.7.1.5

اضرب $8$ في $1$ .

$0 + 8$

خطوة 1.7.2

أضف $0$ و $8$ .

$8$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $8$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{2}, 4 π)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4 π) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 π = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 π = 8 x + 8 (- \frac{π}{2})$

خطوة 2.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y - 4 π = 8 x + 8 \frac{- π}{2}$

خطوة 2.3.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y - 4 π = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{2}$

خطوة 2.3.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 4 π = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2}$

خطوة 2.3.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 4 π = 8 x + 4 (- π)$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y - 4 π = 8 x - 4 π$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $4 π$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 8 x - 4 π + 4 π$

خطوة 2.3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $8 x - 4 π + 4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أضف $- 4 π$ و $4 π$ .

$y = 8 x + 0$

خطوة 2.3.2.2.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$y = 8 x$

خطوة 3