حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $π$ عن $x$ .

$y = (π) \sin (10 (π))$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $10$ في $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (π) \sin (10 (π))$

خطوة 1.2.3

بسّط $(π) \sin (10 (π))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$y = π \sin (0)$

خطوة 1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$y = π \cdot 0$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $π$ في $0$ .

$y = 0$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = π$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $10$ في $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $10$ إلى يسار $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\sin (10 x)$ في $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

خطوة 2.3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

خطوة 2.4

احسِب قيمة المشتق في $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

خطوة 2.5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $10$ في $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

خطوة 2.5.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$10 π + \sin (0)$

خطوة 2.5.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$10 π + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $10 π$ و $0$ .

$10 π$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $10 π$ ونقطة مُعطاة $(π, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

خطوة 3.3.2

بسّط $10 π \cdot (x - π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $10 π (- π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

خطوة 3.3.2.2.2

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

خطوة 3.3.2.2.3

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

خطوة 3.3.2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

خطوة 3.3.2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

خطوة 4