حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(8, 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 8$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x}$ في صورة ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $2^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10

اجمع $2^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

انقُل $2^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

احسِب قيمة المشتق في $x = 8$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(8)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.1.2

اضرب الأُسس في ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.14.1.2.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.14.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

خطوة 1.14.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 3}{2}}}$

خطوة 1.14.1.5

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{1}{2^{\frac{4}{2}}}$

خطوة 1.14.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 1.14.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

خطوة 1.14.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

خطوة 1.14.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{1}}}$

خطوة 1.14.1.6.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

خطوة 1.14.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{4}$ ونقطة مُعطاة $(8, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{4} \cdot (x - (8))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{4} \cdot (x - 8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

خطوة 2.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

خطوة 2.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - 4 = \frac{x}{4} - 2$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{4} - 2 + 4$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 2$ و $4$ .

$y = \frac{x}{4} + 2$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{4} x + 2$

خطوة 3