حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{x^{3} - 1}$ at $x = 1$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $1$ عن $x$ .

$y = e^{{(1)}^{3} - 1}$

خطوة 1.2

بسّط $e^{{(1)}^{3} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = e^{1 - 1}$

خطوة 1.2.2

اطرح $1$ من $1$ .

$y = e^{0}$

خطوة 1.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{3} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 1$ .

$e^{x^{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + 0)$

خطوة 2.2.4

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{3} - 1}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 \cdot 1 e^{{(1)}^{3} - 1}$

خطوة 2.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 e^{{(1)}^{3} - 1}$

خطوة 2.5.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 e^{1 - 1}$

خطوة 2.5.4

اطرح $1$ من $1$ .

$3 e^{0}$

خطوة 2.5.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.5.6

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $3$ ونقطة مُعطاة $(1, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $3 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y - 1 = 3 x - 3$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 3 x - 3 + 1$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 3$ و $1$ .

$y = 3 x - 2$

خطوة 4