حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

خطوة 1.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

خطوة 1.4.6

اضرب $\ln (x^{2})$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

خطوة 1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

خطوة 1.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

خطوة 1.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (x^{2})$ .

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

خطوة 1.5.4.2

وسّع $\ln (x^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

خطوة 1.5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

خطوة 1.5.4.3.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) + 1$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$\ln (- 1) + 1$

خطوة 1.7

اللوغاريتم الطبيعي لعدد سالب يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2

ميل الخط المستقيم يساوي قيمة غير معرّفة، ما يعني أنه عمودي على المحور السيني عند $x = - 1$ .

$x = - 1$

خطوة 3