حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{10}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 5$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{10}{1 + e^{- x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ بالصيغة ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$10 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + e^{- x}$ .

$10 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$10 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + e^{- x}$ .

$10 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

خطوة 1.5.4

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أعِد ترتيب عوامل $10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$10 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

خطوة 1.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 1.6.3

اضرب $10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اجمع $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ و $10$ .

$\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

خطوة 1.6.3.2

اجمع $\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{10 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 1.7

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$\frac{10 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{10 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

خطوة 1.8.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

خطوة 1.8.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.8.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

خطوة 1.8.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{2^{2}}$

خطوة 1.8.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{10 \cdot 1}{4}$

خطوة 1.8.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1

اضرب $10$ في $1$ .

$\frac{10}{4}$

خطوة 1.8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 (5)}{4}$

خطوة 1.8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{5}{2}$ ونقطة مُعطاة $(0, 5)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{5}{2} \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{5}{2} \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x$ .

$y - 5 = \frac{5 x}{2}$

خطوة 2.3.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{5 x}{2} + 5$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{5}{2} x + 5$

خطوة 3