حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln^{3} (x)$ at $x = 4$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $4$ عن $x$ .

$y = \ln ({(4)}^{3})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \ln (4^{3})$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = \ln ({(4)}^{3})$

خطوة 1.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$y = \ln (64)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = \ln (64)$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(x)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح ${(x)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ ${(x)}^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

خطوة 2.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3}{x^{3}} x^{2}$

خطوة 2.2.2.2

اجمع $\frac{3}{x^{3}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

خطوة 2.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

خطوة 2.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

خطوة 2.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

خطوة 2.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{x}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{3}{4}$ ونقطة مُعطاة $(4, \ln (64))$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (64)) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \ln (64) = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \ln (64) = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \ln (64) = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \ln (64) = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x$ .

$y - \ln (64) = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y - \ln (64) = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

خطوة 3.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - \ln (64) = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 3.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - \ln (64) = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y - \ln (64) = \frac{3 x}{4} - 3$

خطوة 3.3.2

أضف $\ln (64)$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + \ln (64)$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{3}{4} x - 3 + \ln (64)$

خطوة 4