حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 5$ و $y = \frac{1}{6}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x - 1}$ بالصيغة ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4.2

اضرب ${(x - 1)}^{- 2}$ في $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

أضف $1$ و $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4.6.2

اضرب ${(x - 1)}^{- 2}$ في $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.4.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

خطوة 1.4.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.1

اضرب $\frac{1}{x - 1}$ في $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

خطوة 1.4.8.2

أضف ${(x - 1)}^{- 2}$ و $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

خطوة 1.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اطرح $1$ من $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

خطوة 1.7.2

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{36}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{36}$ ونقطة مُعطاة $(- 5, \frac{1}{6})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{36}$ و $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

خطوة 2.3.1.5

اجمع $\frac{1}{36}$ و $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{1}{6}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $\frac{1}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 2.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $36$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $6$ في $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

خطوة 2.3.2.5

أضف $5$ و $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

خطوة 3