حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{4 x}}{x}$ , $(\frac{1}{4}, 4 e)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{1}{4}$ و $y = 4 e$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{4 x}$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$\frac{x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{x (e^{4 x} \cdot 4) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$\frac{x (4 \cdot e^{4 x}) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (4 e^{4 x}) - e^{4 x} \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x (4 e^{4 x}) - e^{4 x}}{x^{2}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x}}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $4 e^{4 x} x - e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $4 e^{4 x} x$ .

$\frac{e^{4 x} (4 x) - e^{4 x}}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3.2

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $- e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} (4 x) + e^{4 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3.3

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $e^{4 x} (4 x) + e^{4 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{1}{4}$ .

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (4 (\frac{1}{4}) - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (4 (\frac{1}{4}) - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4

بسّط.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{4^{2}}}$

خطوة 1.6.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{4^{2}}}$

خطوة 1.6.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{16}}$

خطوة 1.6.3

اضرب $e$ في $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{16}}$

خطوة 1.6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$0 \cdot 16$

خطوة 1.6.5

اضرب $0$ في $16$ .

$0$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $0$ ونقطة مُعطاة $(\frac{1}{4}, 4 e)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{4}))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{4})$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $0$ في $x - \frac{1}{4}$ .

$y - 4 e = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $4 e$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 4 e$

خطوة 3