حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x^{2} + 7) (5 x + 4)$ ; $x = 2$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $2$ عن $x$ .

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = (2^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

خطوة 1.2.3

بسّط $({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = (4 + 7) (5 (2) + 4)$

خطوة 1.2.3.2

أضف $4$ و $7$ .

$y = 11 (5 (2) + 4)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $5$ في $2$ .

$y = 11 (10 + 4)$

خطوة 1.2.3.4

أضف $10$ و $4$ .

$y = 11 \cdot 14$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $11$ في $14$ .

$y = 154$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 154$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 7$ و $g (x) = 5 x + 4$ .

$(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [5 x + 4] + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 7) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} + 7) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2.4

اضرب $5$ في $1$ .

$(x^{2} + 7) (5 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 7) (5 + 0) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أضف $5$ و $0$ .

$(x^{2} + 7) \cdot 5 + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2.6.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{2} + 7$ .

$5 \cdot (x^{2} + 7) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.2.9

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + 0)$

خطوة 2.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x)$

خطوة 2.2.10.2

انقُل $2$ إلى يسار $5 x + 4$ .

$5 (x^{2} + 7) + 2 \cdot (5 x + 4) x$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x + 4) x$

خطوة 2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + (2 (5 x) + 2 \cdot 4) x$

خطوة 2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

خطوة 2.3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اضرب $5$ في $7$ .

$5 x^{2} + 35 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $5$ في $2$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x \cdot x + 2 \cdot 4 x$

خطوة 2.3.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot 4 x$

خطوة 2.3.4.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 4 x$

خطوة 2.3.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot 4 x$

خطوة 2.3.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 2 \cdot 4 x$

خطوة 2.3.4.7

اضرب $2$ في $4$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 8 x$

خطوة 2.3.4.8

أضف $5 x^{2}$ و $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 35 + 8 x$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$15 x^{2} + 8 x + 35$

خطوة 2.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$15 {(2)}^{2} + 8 (2) + 35$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$15 \cdot 4 + 8 (2) + 35$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $15$ في $4$ .

$60 + 8 (2) + 35$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $8$ في $2$ .

$60 + 16 + 35$

خطوة 2.5.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $60$ و $16$ .

$76 + 35$

خطوة 2.5.2.2

أضف $76$ و $35$ .

$111$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $111$ ونقطة مُعطاة $(2, 154)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (154) = 111 \cdot (x - (2))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $111 \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 154 = 0 + 0 + 111 \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 154 = 111 x + 111 \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $111$ في $- 2$ .

$y - 154 = 111 x - 222$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $154$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 111 x - 222 + 154$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 222$ و $154$ .

$y = 111 x - 68$

خطوة 4