حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{2}$ و $y = \frac{π}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $x^{\sin (x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

خطوة 1.1.2

وسّع $\ln (x^{\sin (x)})$ بنقل $\sin (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 1.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 1.5

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 1.6

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

خطوة 1.7.2

اجمع $e^{\sin (x) \ln (x)}$ و $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

خطوة 1.7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

خطوة 1.8

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9.1.2

بسّط $1 \ln (\frac{π}{2})$ بنقل $1$ داخل اللوغاريتم.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9.1.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9.1.4

بسّط.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9.1.6

اضرب $\frac{π}{2}$ في $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9.1.7

اضرب $0$ في $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.9.1.8

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.10

بسّط $1 \ln (\frac{π}{2})$ بنقل $1$ داخل اللوغاريتم.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.11

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.12

بسّط.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.13

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.14

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.15

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1.15.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

خطوة 1.9.1.15.2

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 1.9.1.16

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1.16.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 1.9.1.16.2

أعِد كتابة العبارة.

$0 + 1$

خطوة 1.9.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $1$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $x - \frac{π}{2}$ في $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{π}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 2.3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أضف $- \frac{π}{2}$ و $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

خطوة 2.3.2.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$y = x$

خطوة 3