حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 x^{2} + 2 y^{2} = 16$ , $(1, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{2} + 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$16 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$16 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$16 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$16 x + 2 (2 y y')$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$16 x + 4 y y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$4 y y' + 16 x$

خطوة 1.3

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 y y' + 16 x = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $16 x$ من كلا المتعادلين.

$4 y y' = - 16 x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $4 y y' = - 16 x$ على $4 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $4 y y' = - 16 x$ على $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 16 x}{4 y}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 16 x$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 (y)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

خطوة 1.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{4 (1)}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{4 (1)}{2}$

خطوة 1.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 (1)$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2}$

خطوة 1.7.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2 (1)}$

خطوة 1.7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 \cdot 1}{1}$

خطوة 1.7.3.2.4

اقسِم $2 \cdot 1$ على $1$ .

$- (2 \cdot 1)$

خطوة 1.7.4

اضرب $- (2 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $1$ .

$- 1 \cdot 2$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 2$ ونقطة مُعطاة $(1, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 2 \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 2 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y - 2 = - 2 x + 2$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 2 x + 2 + 2$

خطوة 2.3.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$y = - 2 x + 4$

خطوة 3