حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y^{2}$ و $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.7

اضرب $2$ في $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.9

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.10

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

خطوة 1.2.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

خطوة 1.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد ترتيب العوامل في $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

خطوة 1.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اطرح $2 y^{2} e^{2 x}$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 1.5.2.2

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y' e^{2 x}$ .

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 4 y'$ .

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ على $2 (y e^{2 x} - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ على $2 (y e^{2 x} - 2)$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y e^{2 x} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

خطوة 1.5.4.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.5.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.5.4.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.5.4.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.5.4.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.5.4.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.2.5.1

أعِد كتابة $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ بالصيغة $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.5.4.3.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

أعِد كتابة $4^{2} e^{2 (0)}$ بالصيغة ${(4 e^{0})}^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 4 e^{0}$ و $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.4.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.4.3

أضف $4$ و $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.4.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.4.5

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.3.4.6

أضف $4$ و $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

خطوة 1.7.4.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

خطوة 1.7.4.3

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

خطوة 1.7.4.4

اطرح $2$ من $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $4$ في $4$ .

$- \frac{16}{2}$

خطوة 1.7.5.2

اقسِم $16$ على $2$ .

$- 1 \cdot 8$

خطوة 1.7.5.3

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 8$ ونقطة مُعطاة $(0, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

خطوة 2.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 8 x + 4$

خطوة 3