حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{12 x}{x^{2} - 4}$ ; $(4, 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{12 x}{x^{2} - 4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $x^{2} - 4$ في $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.7

أضف $1$ و $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$12 \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.9

اجمع $12$ و $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{12 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.2.1

اضرب $- 1$ في $12$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.10.2.2

اضرب $12$ في $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{2} - 48}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.11

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{- 12 {(4)}^{2} - 48}{{({(4)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 12 \cdot 16 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.2

اضرب $- 12$ في $16$ .

$\frac{- 192 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.3

اطرح $48$ من $- 192$ .

$\frac{- 240}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.12.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 240}{{(16 - 4)}^{2}}$

خطوة 1.12.2.2

اطرح $4$ من $16$ .

$\frac{- 240}{12^{2}}$

خطوة 1.12.2.3

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 240}{144}$

خطوة 1.12.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 240$ و $144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.3.1.1

أخرِج العامل $48$ من $- 240$ .

$\frac{48 (- 5)}{144}$

خطوة 1.12.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.3.1.2.1

أخرِج العامل $48$ من $144$ .

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

خطوة 1.12.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

خطوة 1.12.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5}{3}$

خطوة 1.12.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{5}{3}$ ونقطة مُعطاة $(4, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3})$

خطوة 2.3.1.5.2

اجمع $4$ و $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3}$

خطوة 2.3.1.5.3

اضرب $4$ في $5$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$y - 4 = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $4$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $4$ في $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 12}{3}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $20$ و $12$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{32}{3}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{5}{3} x) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{32}{3}$

خطوة 3