حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = e^{x^{5} - 6 x}$ , $(- 1, e^{5})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = e^{5}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{5} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5} - 6 x$ .

$e^{x^{5} - 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6 \cdot 1)$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 6$ في $1$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6)$

خطوة 1.3

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$e^{{(- 1)}^{5} - 6 \cdot - 1} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$e^{- 1 - 6 \cdot - 1} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

خطوة 1.4.1.2

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$e^{- 1 + 6} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

خطوة 1.4.2

أضف $- 1$ و $6$ .

$e^{5} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

خطوة 1.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$e^{5} (5 \cdot 1 - 6)$

خطوة 1.4.3.2

اضرب $5$ في $1$ .

$e^{5} (5 - 6)$

خطوة 1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اطرح $6$ من $5$ .

$e^{5} \cdot - 1$

خطوة 1.4.4.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{5}$ .

$- 1 \cdot e^{5}$

خطوة 1.4.4.3

أعِد كتابة $- 1 e^{5}$ بالصيغة $- e^{5}$ .

$- e^{5}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- e^{5}$ ونقطة مُعطاة $(- 1, e^{5})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e^{5}) = - e^{5} \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - e^{5} = - e^{5} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- e^{5} \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - e^{5} = 0 + 0 - e^{5} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - e^{5} = - e^{5} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - e^{5} = - e^{5} x - e^{5} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y - e^{5} = - e^{5} x - e^{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $e^{5}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - e^{5} x - e^{5} + e^{5}$

خطوة 2.3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- e^{5} x - e^{5} + e^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أضف $- e^{5}$ و $e^{5}$ .

$y = - e^{5} x + 0$

خطوة 2.3.2.2.2

أضف $- e^{5} x$ و $0$ .

$y = - e^{5} x$

خطوة 3