حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{5 x}$ at $x = \frac{1}{5} \ln (3)$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $\frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ عن $x$ .

$y = e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

خطوة 1.2

بسّط $e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط $\frac{1}{5} \ln (3)$ بنقل $\frac{1}{5}$ داخل اللوغاريتم.

$y = e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

خطوة 1.2.2

بسّط $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$y = e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

خطوة 1.2.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$y = {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

خطوة 1.2.4

اضرب الأُسس في ${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

خطوة 1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

خطوة 1.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 3^{1}$

خطوة 1.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = 3$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{1}{5} \ln (3)$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{5 x} (5 \cdot 1)$

خطوة 2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$e^{5 x} \cdot 5$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$5 e^{5 x}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ .

$5 e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط $\frac{1}{5} \ln (3)$ بنقل $\frac{1}{5}$ داخل اللوغاريتم.

$5 e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

خطوة 2.4.2

بسّط $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$5 e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

خطوة 2.4.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$5 {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

خطوة 2.4.4

اضرب الأُسس في ${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

خطوة 2.4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

خطوة 2.4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 \cdot 3^{1}$

خطوة 2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$5 \cdot 3$

خطوة 2.4.6

اضرب $5$ في $3$ .

$15$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $15$ ونقطة مُعطاة $(\frac{1}{5} \cdot \ln (3), 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 15 \cdot (x - (\frac{1}{5} \cdot \ln (3)))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = 15 x + 15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $15$ .

$y - 3 = 15 x - 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$

خطوة 3.3.1.4.2

بسّط $- 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ بنقل $15$ داخل اللوغاريتم.

$y - 3 = 15 x - \ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{15})$

خطوة 3.3.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اضرب الأُسس في ${(3^{\frac{1}{5}})}^{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot 15})$

خطوة 3.3.1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 (3))})$

خطوة 3.3.1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3)})$

خطوة 3.3.1.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{3})$

خطوة 3.3.1.5.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$y - 3 = 15 x - \ln (27)$

خطوة 3.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 15 x - \ln (27) + 3$

خطوة 4