حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x + 3 y^{2} y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y^{2} y' + 4 x$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 y + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 y' + 3 \cdot 1$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$5 y' + 3$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $5 y'$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

خطوة 1.5.2

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' - 5 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ على $3 y^{2} - 5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ على $3 y^{2} - 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

خطوة 1.7.3.2

اطرح $8$ من $3$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{- 5}{12 - 5}$

خطوة 1.7.4.3

اطرح $5$ من $12$ .

$\frac{- 5}{7}$

خطوة 1.7.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{7}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{5}{7}$ ونقطة مُعطاة $(2, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{5}{7} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

خطوة 2.3.1.5.2

اجمع $2$ و $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

خطوة 2.3.1.5.3

اضرب $2$ في $5$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $2$ في $7$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $10$ و $14$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

خطوة 3