حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x - 1}$ , $(5, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 5$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 1.11.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

احسِب قيمة المشتق في $x = 5$ .

$\frac{1}{2 {((5) - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.1

اطرح $1$ من $5$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

خطوة 1.13.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.13.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{4}$ ونقطة مُعطاة $(5, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (5))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{4} \cdot (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.5

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 5$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 2 = \frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 2$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 8}{4}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 5$ و $8$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$

خطوة 3