حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $2$ عن $x$ .

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

خطوة 1.2.3

بسّط ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

خطوة 1.2.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

خطوة 1.2.3.3

اطرح $2$ من $3$ .

$y = 8 \cdot 1^{4}$

خطوة 1.2.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = 8 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $8$ في $1$ .

$y = 8$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 8$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 3 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - x$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

خطوة 2.3.9

انقُل $3$ إلى يسار ${(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ من $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أخرِج العامل $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ من $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

خطوة 2.4.1.2

أخرِج العامل $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ من $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

خطوة 2.4.1.3

أخرِج العامل $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ من $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

خطوة 2.4.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

خطوة 2.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

خطوة 2.6.1.3

اطرح $2$ من $3$ .

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

خطوة 2.6.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

خطوة 2.6.1.5

اضرب $4$ في $1$ .

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

خطوة 2.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

خطوة 2.6.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

خطوة 2.6.2.3

اطرح $2$ من $3$ .

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

خطوة 2.6.2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$4 (- 8 + 3)$

خطوة 2.6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

أضف $- 8$ و $3$ .

$4 \cdot - 5$

خطوة 2.6.3.2

اضرب $4$ في $- 5$ .

$- 20$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- 20$ ونقطة مُعطاة $(2, 8)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- 20 \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $- 20$ في $- 2$ .

$y - 8 = - 20 x + 40$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 20 x + 40 + 8$

خطوة 3.3.2.2

أضف $40$ و $8$ .

$y = - 20 x + 48$

خطوة 4