حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = - 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.3.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

خطوة 1.4.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7.1.2

اضرب $- 9$ في $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7.1.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.1.7

اضرب $2$ في $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1

اكتب $- 9$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.2.2

اضرب $\frac{- 9}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.2.3

اضرب $\frac{- 9}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.2.4

اكتب $- 2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.2.5

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.2.6

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 1.7.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $- 9$ في $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اطرح $4$ من $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

خطوة 1.7.5.2

اطرح $1$ من $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

خطوة 1.7.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{23}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{23}{2}$ ونقطة مُعطاة $(1, - 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $\frac{23}{2}$ في $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $23$ إلى يسار $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

اطرح $4$ من $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

خطوة 3