حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 1)$ , $(4, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + 0)$

خطوة 1.2.7

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$

خطوة 1.3.2

اضرب $2 x - 4$ في $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

خطوة 1.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

خطوة 1.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 1}$

خطوة 1.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 1}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{2 ((4) - 2)}{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{4^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.5.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 16 + 1}$

خطوة 1.5.2.3

اطرح $16$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 2}{0 + 1}$

خطوة 1.5.2.4

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1}$

خطوة 1.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{1}$

خطوة 1.5.3.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$4$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $4$ ونقطة مُعطاة $(4, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 4 \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 4 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 4 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.2

بسّط $4 \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 4 x + 4 \cdot - 4$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$y = 4 x - 16$

خطوة 3