حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $4$ عن $x$ .

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

خطوة 1.2

بسّط $\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

خطوة 1.2.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$y = \sqrt{25 - 16}$

خطوة 1.2.3

اطرح $16$ من $25$ .

$y = \sqrt{9}$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

خطوة 1.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 3$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{25 - x^{2}}$ في صورة ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 25 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.7.3

انقُل ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $25 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 2.9

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 2.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

خطوة 2.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

خطوة 2.13.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 2.13.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 2.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.16

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.17

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.17.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.17.2

اطرح $16$ من $25$ .

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.17.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.17.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.17.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.17.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4}{3^{1}}$

خطوة 2.17.6

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{4}{3}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- \frac{4}{3}$ ونقطة مُعطاة $(4, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $- \frac{4}{3} \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

خطوة 3.3.1.5.2

اجمع $4$ و $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

خطوة 3.3.1.5.3

اضرب $4$ في $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

خطوة 3.3.1.6

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $3$ في $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

خطوة 3.3.2.5.2

أضف $16$ و $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

خطوة 3.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

خطوة 4