حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.7.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

خطوة 1.9

اضرب $e^{- x^{2}}$ في $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

خطوة 1.10.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

خطوة 1.11

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 1.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.6

اضرب $0$ في $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + e^{- 0}$

خطوة 1.12.1.8

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + e^{0}$

خطوة 1.12.1.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 1$

خطوة 1.12.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $1$ ونقطة مُعطاة $(0, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3.2

بسّط $1 \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $x + 0$ في $1$ .

$y = x + 0$

خطوة 2.3.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$y = x$

خطوة 3