حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = \frac{1}{e}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

خطوة 1.6.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

خطوة 1.6.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

خطوة 1.6.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

خطوة 1.6.1.5

أعِد كتابة $- 1 \frac{1}{e}$ بالصيغة $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

خطوة 1.6.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

خطوة 1.6.1.7

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

خطوة 1.6.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

خطوة 1.6.1.9

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

خطوة 1.6.1.10

اجمع $3$ و $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

خطوة 1.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

خطوة 1.6.2.2

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{2}{e}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{2}{e}$ ونقطة مُعطاة $(1, \frac{1}{e})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اطرح $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ من كلا المتعادلين.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

خطوة 2.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{2}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.3.1.2.3

اضرب $- \frac{2}{e} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

خطوة 2.3.1.2.3.2

اضرب $\frac{2}{e}$ في $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

خطوة 2.3.1.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

خطوة 2.3.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

خطوة 2.3.1.4

أضف $- 1$ و $2$ .

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

خطوة 2.3.1.5

لكتابة $y$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

خطوة 2.3.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$y e - 2 x + 1 = 0$

خطوة 2.3.3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$y e + 1 = 2 x$

خطوة 2.3.3.1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y e = 2 x - 1$

خطوة 2.3.3.2

اقسِم كل حد في $y e = 2 x - 1$ على $e$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $y e = 2 x - 1$ على $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

خطوة 2.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

خطوة 2.3.3.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

خطوة 2.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

خطوة 2.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

خطوة 3