حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {({(x - 2)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 3$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $3$ عن $x$ .

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = {({(3 - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

خطوة 1.2.3

بسّط ${({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اطرح $2$ من $3$ .

$y = {(1^{2} - (3))}^{2}$

خطوة 1.2.3.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = {(1 - (3))}^{2}$

خطوة 1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = {(1 - 3)}^{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اطرح $3$ من $1$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

خطوة 1.2.3.2.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$y = 4$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x - 2)}^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x - 2)}^{2} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.4.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1)$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 2) - 1)$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

خطوة 2.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

خطوة 2.5.3.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 4 - 1)$

خطوة 2.5.3.3

اطرح $1$ من $- 4$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$(2 ((x - 2) (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.2

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$(2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$(2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$(2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.5.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.4.5.2

اضرب $2$ في $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.5

اطرح $2 x$ من $- 8 x$ .

$(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$

خطوة 2.5.6

وسّع $(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.2.1

انقُل $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.4

اضرب $- 5$ في $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x \cdot x - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.6.1

انقُل $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.7

اضرب $- 10$ في $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.8

اضرب $- 5$ في $- 10$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.9

اضرب $2$ في $8$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x + 8 \cdot - 5$

خطوة 2.5.7.10

اضرب $8$ في $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

خطوة 2.5.8

اطرح $20 x^{2}$ من $- 10 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

خطوة 2.5.9

أضف $50 x$ و $16 x$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 66 x - 40$

خطوة 2.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot 27 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

خطوة 2.7.1.2

اضرب $4$ في $27$ .

$108 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

خطوة 2.7.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$108 - 30 \cdot 9 + 66 (3) - 40$

خطوة 2.7.1.4

اضرب $- 30$ في $9$ .

$108 - 270 + 66 (3) - 40$

خطوة 2.7.1.5

اضرب $66$ في $3$ .

$108 - 270 + 198 - 40$

خطوة 2.7.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

اطرح $270$ من $108$ .

$- 162 + 198 - 40$

خطوة 2.7.2.2

أضف $- 162$ و $198$ .

$36 - 40$

خطوة 2.7.2.3

اطرح $40$ من $36$ .

$- 4$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- 4$ ونقطة مُعطاة $(3, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 4 \cdot (x - (3))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- 4 \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 3)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = - 4 x - 4 \cdot - 3$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$y - 4 = - 4 x + 12$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 4 x + 12 + 4$

خطوة 3.3.2.2

أضف $12$ و $4$ .

$y = - 4 x + 16$

خطوة 4